De acordo com as informações do professor, podemos definir a função f(x) como f(x)=ax2+bx+c, onde a, b, e c são números reais.

Considerando as seguintes informações:

A nota zero permanece zero: f(0)=0, então a×0²+b×0+c=0, o que implica que c=0;
A nota 10 permanece 10: (10)=10, então a×(10)2+b×10+c=10, que se traduz em $100 + 10 - 10 = 0$
A nota 5 passa a ser 6: f(5)=6, então a×(5)²+b×5+c=6, que implica em 25a+5b−6=0.

Sabendo que c=0, podemos resolver um sistema de equações com as informações (2) e (3) para encontrar os valores de a e b:

100a+10b−10=0

25a+5b−6=0

Multiplicando a segunda equação por 2, obtemos:

100a+10b−10=0

50a+10b−12=0

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:

$(100−50)a+(10−10)b−10−(−12)=0$

50a+2=0

Logo, $a = - \frac{1}{25}$

Substituindo a em uma das equações dadas em (2) ou (3), encontramos que $b = \frac{7}{5}$

Portanto, a função é dada por:

$f (x) = - \frac{125}{x^{2}} + \frac{75}{x}$