Texto base:   Leia o texto a seguir:   A chegada da família real portuguesa ao Brasil foi um marco para a sociedade colonial, pois jamais qualquer rei europeu havia sequer visitado alguma colônia, quanto mais se transferir e passar a viver, e governar, em uma. A ocasião era merecedora de intensos festejos, que ocorreram durante uma semana, saudando a chegada da família real. Logo após esta semana, o príncipe regente tomou a primeira e uma das maiores decisões do período em que permaneceu no Brasil. [...] Os portos brasileiros foram abertos às nações amigas. Tal evento, para muitos historiadores, caracteriza o fim do pacto colonial e o primeiro passo de nossa independência.   Disponível em: <http://www.uff.br/higienesocial/images/stories/arquivos/Texto_apoio_aula_2_-_A_Famlia_Real_No_Rio_de_Janeiro.pdf>. Acesso em: 03 nov. 2014

Enunciado:

A vinda da Corte Portuguesa para o Brasil foi um grande marco da nossa história. Justifique o motivo dos historiadores considerarem a primeira medida do príncipe regente como “o primeiro passo de nossa independência”.

A incorporação de saberes e de tecnologias populares como, por exemplo, a obtenção do sabão de cinzas, a partir de uma mistura de lixívia de madeira queimada com grandes quantidades de gordura animal sob aquecimento, demonstra que já se sabia como controlar uma reação química, cuja finalidade, neste caso, era produzir sabão.

De acordo com o conhecimento químico, o sabão de cinzas se forma mediante a ocorrência de reações químicas entre a potassa, que é obtida das cinzas, e a gordura animal. A palavra potassa é usada em geral para indicar o carbonato de potássio (K₂CO₃), que, em meio aquoso, sofre hidrólise.

Disponível em: www.if.ufrgs.br. Acesso em 21 set. 2012 (adaptado).

A hidrólise da potassa é condição necessária para a saponificação por

 Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K2(R2 - x2), em que K é uma constante positiva.

O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de

 Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era:

(FUVEST 2017 1° FASE) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b.

Constituem dois inteiros positivos equivalentes: